Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2，数列{bn}是首项为a1 ， 公差不为零的等差数列，且b1 ， b3 ， b11成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn= ，前n项和为Pn ， 对于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，a1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，

得an=2an﹣1，

∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{an}的通项公式为an=2n．

则b1=a1=2，设公差为d，则b1，b3，b11成等比数列，

得（2+2d）2=2×（2+10d），

解得d=0（舍去）或d=3

∴数列{bn}的通项公式为bn=3n﹣1

（2）解：cn= = = （ ﹣ ）

则pn= （ +…+ - ）= （ ） ，

又对于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，

所以实数t的取值范围是t≥

【解析】（1）根据当n=1时a1=S1 ， 当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1 ， 判断出数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，并求出
an ， 由等比中项的性质、等差数列的通项公式求出bn；（2）由（1）和题意求出cn ， 利用裂项相消法求出前n项和Pn ， 化简后求出Pn的范围，由恒成立求出实数t的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)，还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键．