Question

如图，四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱，


（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若棱上存在一点，使得，
当二面角的大小为时，求实数的值．

Answer 1

以所在直线分别为轴，轴，轴建系
（Ⅱ）.

解析试题分析：(I)（Ⅰ）连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD
∴AC⊥A₁B。
以所在直线分别为轴，轴，轴建系
（Ⅱ）∵   ∴，设平面的一个法向量为，
，
令则，，
∴ 6分
设平面的一个法向量为
,
 
∴   8分
       10分
∴    12分
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题利用空间向量知识解答，关键点是建立适当地空间直角坐标系。