Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，为棱上的一点，且，为棱的中点，为棱上的一点，若平面，是边长为4的正三角形，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)要证平面平面转证平面，结合条件面面垂直可证；

(2)先证明平面以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.

（1）取的中点，连结，

因为，所以，

因为平面，平面，

平面平面，所以，

又因为，所以，

所以为的中点，又因为为的中点，

所以，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知，

在中，由余弦定理得，所以，

所以，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，

所以，，

设平面的法向量为，

由得，取，则，，所以.

又，，，

设直线平面所成角为.

则 ，

所以直线与平面所成角的正弦值为.