Question

【题目】如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，

由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.

如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，

连接CB，则CBAC，

过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，

又知当D、C在AB同侧时，取最大值，

设D在OE的投影为N，

当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，

由向量的几何意义可知，=，最大时为，

又OM=cosθ, ∴cosθ，

∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，

∴ 的最大值为.

故选A.