Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是椭圆上不同的三点，若直线的斜率之积为，试问从两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）两点的横坐标之和为0，详见解析

【解析】

（1）先由题中条件，得到，再由离心率求出，得到，进而可得椭圆方程；

（2）设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理表示出与，再结合，即可得到结果.

（1）由椭圆的右焦点得，

又离心率得，

所以椭圆的标准方程为：

（2）两点的横坐标之和为0，理由如下

设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，

则直线的方程为：，

由方程组，消去得：

，

，

故，同理可得：，

又，即，

从而，

即两点的横坐标之和为常数零