题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．（1）求证：BB1⊥平面ABC；
（2）求二面角C-DA1-C1的余弦值．
分析：（1）要证线面垂直，主要是借助于线面垂直的判定，因此想方设法在平面ABC内找到两条相交且与BB1垂直的直线即可；
（2）以C为原点，分别以
，
，
的方向方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．
（2）以C为原点，分别以
| CB |
| CC1 |
| CA |
解答：（1）证明：∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，AB∩A1D=D，
∴CD⊥平面AA1B1B，∴CD⊥BB1，
又BB1⊥AB，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC；
（2）以C为原点，分别以
，
，
的方向方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立
空间直角坐标系（如图所示），
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C1（0，2，0），A1（0，2，2），D（1，0，1）．
设
=（x1，y1，z1）是平面DCA1的法向量，
则有
，即
，∴
，故可取
=（1，1，-1）．
同理设
=（x2，y2，z2）是平面DC1A1的法向量，且
=（1，-2，1），
=（0，0，2）．
则有
，即
，∴
．故可取
=（2，1，0）．
∴cos＜
，
＞═
=
=
．
又二面角C-DA1-C1的平面角为锐角，所以其余弦值为
．
∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，AB∩A1D=D，
∴CD⊥平面AA1B1B，∴CD⊥BB1，
又BB1⊥AB，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC；
（2）以C为原点，分别以
| CB |
| CC1 |
| CA |
空间直角坐标系（如图所示），
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C1（0，2，0），A1（0，2，2），D（1，0，1）．
设
| n1 |
则有
|
|
|
| n1 |
同理设
| n2 |
| C1D |
| C1A1 |
则有
|
|
|
| n2 |
∴cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 3 | ||||
|
| ||
| 5 |
又二面角C-DA1-C1的平面角为锐角，所以其余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，属中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（ ）| A、3：2 | B、7：5 | C、8：5 | D、9：5 |
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A=AC=2，BC=1，AB=
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=60°，四边形BCC1B1为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（2013•通州区一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．