题目内容
9.已知x,y∈R,求证:$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥($\frac{x+y}{2}$)2.分析 由不等式证明的分析法和实数的完全平方非负可得.
解答 证明:要证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥($\frac{x+y}{2}$)2只需证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$-($\frac{x+y}{2}$)2≥0,
只需证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{4}$≥0,即证$\frac{2{x}^{2}+2{y}^{2}-{x}^{2}-2xy-{y}^{2}}{4}$≥0,
即证$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{4}$≥0,即证(x-y)2≥0,
显然对任意x,y∈R,(x-y)2≥0成立,
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥($\frac{x+y}{2}$)2
点评 本题考查不等式的证明,属基础题.
练习册系列答案
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A. | -3 | B. | 4 | C. | -9 | D. | 8 |