题目内容
在平面直角坐标系中，已知三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）和两点D，E满足
=t
，
=t
，t∈[0，1]．
（1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围；
（2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程．
| AD |
| AB |
| BE |
| BC |
（1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围；
（2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程．
考点：直线的斜率,向量数乘的运算及其几何意义
专题：直线与圆
分析：（1）设D（a，b）；E（c，d），由
=t
，
=t
，表示出D，E的坐标，利用斜率公式表示出k，根据k=tanα及0≤α＜π求出倾斜角α的取值范围；
（2）利用两点距离公式表示出|DE|，利用二次函数求出其最小值，求出D，E的坐标得到直线方程．
| AD |
| AB |
| BE |
| BC |
（2）利用两点距离公式表示出|DE|，利用二次函数求出其最小值，求出D，E的坐标得到直线方程．
解答：
解：（1）设D（a，b）；E（c，d），
∵
=t
，
=t
，
∴（a-2，b-1）=（-2t，-2t）；（c，d+1）=（-2t，2t）
∴D（2-2t，1-2t），E（-2t，2t-1），
k=
=-2t+1，
∵t∈[0，1]，
∴k∈[-1，1]
∵k=tanα，
∴-1≤tanα≤1
∵0≤α＜π
∴0≤α≤
或
≤α＜π
（2）|DE|=
=
，（t∈[0，1]，）
当t=
时有最小值为2，此时，D（1，0），E（-1，0）
∴直线DE的方程y=0．
∵
| AD |
| AB |
| BE |
| BC |
∴（a-2，b-1）=（-2t，-2t）；（c，d+1）=（-2t，2t）
∴D（2-2t，1-2t），E（-2t，2t-1），
k=
| (2t-1)-(1-2t) |
| -2t-(2-2t) |
∵t∈[0，1]，
∴k∈[-1，1]
∵k=tanα，
∴-1≤tanα≤1
∵0≤α＜π
∴0≤α≤
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）|DE|=
| (2-2t+2t)2+(1-2t-2t+1)2 |
| 16t2-16t+8 |
当t=
| 1 |
| 2 |
∴直线DE的方程y=0．
点评：本题考查直线的斜率公式，考查斜率与倾斜角的关系；考查两点距离公式及函数最值的求法，属于中档题．
练习册系列答案
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已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，则an=（ ）
| A、2n2+1 |
| B、2n+2 |
| C、2n+1 |
| D、2n+3 |
已知命题p：?x∈R，sinx≤1则￢p是（ ）
| A、?x∈R，sinx≥1 |
| B、?x∈R，sinx＞1 |
| C、?x∈R，sinx≥1 |
| D、?x∈R，sinx＞1 |
