Question

已知f(x)=

ex-1，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，则方程f(x)-x=0在区间[0，5)上所有实根和为（　　）

A．15

B．10

C．6

D．4

Answer 1

分析：根据分段函数自变量的取值范围，对区间[0，5）上的值进行分类讨论，分别求出方程f（x）-x=0的解，即可得出方程f（x）-x=0在区间[0，5）上所有实根和．

解答：解：当x=0时，f（0）=e⁰-1=0，故x=0是方程f（x）-x=0的一个根；
①当x∈（0，1]时，f（x）=f（x-1）+1=e^x-1，当x=1时，f（1）=e⁰=1，当x∈（0，1）时，f（x）＞e⁰=1，故x=1是方程f（x）-x=0的一个根；
②当x∈（1，2]时，f（x）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=e^x-2+1，当x=2时，f（2）=e⁰+1=2，当x∈（1，2）时，f（x）＞2，故x=2是方程f（x）-x=0的一个根；
③当x∈（2，3]时，f（x）=f（x-3）+3=e^x-3+2，只有当x=3时，f（3）=e⁰+2=3，故x=3是方程f（x）-x=0的一个根；
④当x∈（3，4]时，f（x）=f（x-4）+4=e^x-4+3，只有当x=4时，f（4）=e⁰+3=4，故x=4是方程f（x）-x=0的一个根；
⑤当x∈（4，5]时，f（x）=f（x-5）+5=e^x-5+4，只有当x=5时，f（5）=e⁰+4=5，故x=5是方程f（x）-x=0的一个根，但x=5∉[0，5）；
则方程f（x）-x=0在区间[0，5）上所有实根和为：0+1+2+3+4=10．
故选B．

点评：本题考查分段函数，考查根的存在性及根的个数判断，考查了分类讨论的数学思想，属于综合题型．