Question

已知f(x)=ex-

1

2

(1+a)x2．
（1）求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）在区间x∈（0，2]为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，把x=0代入到导函数中求出切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）由f（x）在x∈（0，2]为增函数得到导函数在区间x∈（0，2]上恒大于等于0，即a+1＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立，可设g（x）=

ex

x

，求出其导函数=0时x的值，讨论导函数的正负得到g（x）的最小值，让a+1小于g（x）的最小值即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-（1+a）x，把x=0代入得到切线的斜率k=f′（0）=1，
然后求出f（0）=1，
所以切线方程为：y-1=1×（x-0）即y=x+1；
（2）f′（x）=e^x-（1+a）x≥0在区间x∈（0，2]上恒成立
即(a+1)＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立．
令g(x)=

ex

x

，g′(x)=

(x-1)ex

x2

当x=1时g(x)=

ex

x

有最小值e
所以a＜e-1．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数求闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件．