题目内容
10.定义:已知I时函数f(x)和g(x)的公共定义域,若存在开区间D⊆I,使函数f(x)和g(x)在D上都是单调递增函数或者是单调递减函数,并且他们的导函数f′(x)和g′(x)在D上也具有相同的单调性,则函数f(x)和g(x)在I上互为“保势函数”.若函数f(x)=ax+lnx和g(x)=3x-eax在R+上互为“保势函数”,则实数a的取值范围是(0,3].分析 若函数f(x)=ax+lnx和g(x)=3x-eax在R+上互为“保势函数”,则f′(x)和g′(x)在R+上也具有相同的单调性,函数f(x)和g(x)在R+上单调性一致,进而可得实数a的取值范围.
解答 解:若函数f(x)=ax+lnx和g(x)=3x-eax在R+上互为“保势函数”,
则f′(x)和g′(x)在R+上也具有相同的单调性,
函数f(x)和g(x)在R+上单调性一致,
∵f′(x)=a+$\frac{1}{x}$在R+上为减函数,
∴g′(x)=3-aeax在R+上为减函数,
故a>0,
则f′(x)=a+$\frac{1}{x}$>0在R+上恒成立,即f(x)在R+上单调递增,
则g(x)在R+上也单调递增,
故g′(x)=3-aeax≥0在R+上恒成立,
又由g″(x)=-a2eax<0在R+上恒成立,
故g′(0)=3-a≥0,
解得:a≤3,
综上实数a的取值范围是(0,3],
故答案为:(0,3]
点评 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用,正确理解互为“保势函数”的概念是解答的关键.
练习册系列答案
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