Question

已知函数f（x）的定义域是且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈时，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，可得，进而结合f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，结合奇函数的定义，可得答案．
（2）由已知中当时，f（x）=3^x．结合（1）中结论，可得f（x）在区间Z）上的解析式；
（3）由（2）的结论及指数的运算性质，我依次为可将不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k转化为二次不等式的形式，进而分析出对应函数在区间上的单调性，即可得到结论．
解答：解：（1）由得，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈时，，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
当x∈Z）时，，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即为x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，对称轴为，
因此函数g（x）在上单调递增．         （15分）
因为，又k为正整数，
所以，因此x²-（k+1）x+1＞0在上恒成立，（17分）
因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）
点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，其中（1）的关键由已知条件得到f（x）+f（-x）=0，（2）的关键是由已知判断出f（x）=f（x-2k），（3）的关键是根据（2）的结论构造关于k的不等式．