题目内容

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用为C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。

(1) k=40,f(x)= (2) 最小值70万元

解析试题分析:解:(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)="20C(x)+" C1(x)=
(2)
解得x=5,x=(舍去)
当0<x<5时,f’(x)<0,当5<x<10时f’(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为

当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元。
考点:函数的解析式;函数的最值。
点评:求函数的最值,方法有:二次函数配方法、导数法和基本不等式法。本题是用到导数法。

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