Question

已知椭圆M：＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.

(1)求椭圆M的方程；

(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）t＝或t＝3

【解析】(1)由题意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，

因为b＝1，所以b2＝a2－c2＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，所以椭圆M的方程为＋y2＝1.

(2)由消去x得(m2＋9)y2＋2mty＋t2－9＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝.①

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3,0)，所以·＝0.

由＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.

将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入上式，

得(m2＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3)2＝0，

将①代入上式，解得t＝或t＝3.