Question

(本小题满分13分)

设定义在R上的函数f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)当x＝－1时，f(x)取得极大值，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称.

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－，]上；

(Ⅲ)设x_n＝，y_m＝(m，n∈N^?)，求证：|f(x_n)－f(y_m)|<.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y＝f(x)的图象，

∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，

∴f(x)＝a₁x³＋a₃x.

∴f′(x)＝3a₁x²＋a₃.

由题意得：.

所以，f(x)＝x³－x.经检验满足题意.                                 (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x²－1.

故设所求两点为(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))，(x₁，x₂∈[－，])

得f′(x₁)·f′(x₂)＝(x－1)(x－1)＝－1.

∵x－1，x－1∈[－1,1]，

∴或

∴或

∴满足条件的两点的坐标为：(0,0)，或(0,0)，.            (8分)

(Ⅲ)∵x_n＝＝1－，(n∈N)

∴x_n∈

当x∈时，导函数f′(x)<0，即函数f(x)在上递减，

得f(x_n)∈，

即f(x_n)∈.

易知y_m∈，用导数可求f(y_m)在(－，－1)上递增；在(－1，－)上递减，

∵f(－)＝·(－)³＋＝，

f(－)＝·(－)³＋＝，

∴f(－)<f(－)，

∴f(y_m)∈(f(－)，f(－1)]，

即f(y_m)∈.

∴|f(x_n)－f(y_m)|＝f(y_m)－f(x_n)<－(－)＝.  

【解析】略