Question

1．已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），且相邻对称中心的距离为$\frac{π}{4}$，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 根据函数的对称性求出ω 和φ的值，即可求出函数的单调区间．

解答 解：∵正切函数相邻两个对称中心的距离d=$\frac{T}{2}$，
∴函数的周期T=2d=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
即f（x）=tan（2x+φ），
由2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{kπ}{2}$得φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴当k=1时，φ=$\frac{π}{2}-\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，
则f（x）=tan（2x-$\frac{π}{6}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$），k∈Z，无递减区间．

点评 本题主要考查正切函数的图象和性质，利用正切函数的对称性是解决本题的关键．注意正切函数y=tanx的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$，0）．