Question

12．圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 由圆心在直线x-2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答 解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，
∵圆C截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，
∴t²+3=4t²，
∴t=±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t=-1不符合题意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=4．

点评 此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．