题目内容
(本题满分14分)已知函数的图象在点
处的切线的斜率为
,且在
处取得极小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函数定义域为实数集
,若存在区间
,使得
在
的值域也是
,称区间
为函数
的“保值区间”.
①当时,请写出函数
的一个“保值区间”(不必证明);
②当时,问
是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”并给予证明;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵,
∴
…… 1 分
由
…… 4 分
∴, 令
,解得
,
当变化时,
,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
+ |
|
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
∴当时,
取得极小值。
所以,。
…… 5 分
(2) ① …… 7 分
②由(1)得,
假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以
在区间
是增函数,
依题意,
于是问题转化为有两个大于1的根。
…… 9 分
现在考察函数
则令
又∵
∴1<
当变化时,
,
的变化情况如下表:
|
(1, |
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
所以,在在(1,
) 上单调递减, 在
上单调递增。 …… 12 分
于是,,
又因为
所以,当时,
的图象与
轴只有一个交点,
…… 13 分
即方程有且只有一个大于1的根,与假设矛盾。
故当x>1时,不存在“保值区间”。
…… 14 分
(2)解法2:由(1)得,
② 假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以
在区间
是增函数,
依题意,
于是问题转化为方程,即
有两个大于1的根。…… 9 分
考察函数=
(
),与函数
(
).
当x>1时,,
所以
而函数在区间
…… 12 分
又因为 所以
,
因此函数=
(
)的图象与函数
(
)的图象只有一个交点。
…… 13分
即方程有且只有一大于1的根,与假设矛盾。
故当时,
不存在“保值区间”
【解析】略
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