题目内容
已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)且0<α<π(1)若|
OA |
OC |
7 |
OB |
OC |
(2)若
AC |
BC |
分析:(1)根据所给的点的坐标写出要用的向量的坐标,因为向量的模长是已知数值,代入坐标进行运算,得到关于角的关系式,结合同角的三角函数的关系,得到角α的值,从而得到向量夹角的值.
(2)根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件,写出角的三角函数式之间的关系,通过三角变换得到要求的角的余弦值,本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理.
(2)根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件,写出角的三角函数式之间的关系,通过三角变换得到要求的角的余弦值,本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理.
解答:解:(1)∵|
+
|=
∴(2+cosα)2+sin2α=7
∴cosα=
,又α∈(0,π)
∴α=∠AOC=
又∵∠AOB=
∴
与
的夹角为
(2)∵
=(cosα-2,sinα)
=(cosα,sinα-2)
又∵
⊥
∴cosα+sinα=
∴2cosαsinα=-
又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=
及cosα-sinα<0
得cosα-sinα=-
∴cosα=
÷2=
OA |
OC |
7 |
∴(2+cosα)2+sin2α=7
∴cosα=
1 |
2 |
∴α=∠AOC=
π |
3 |
又∵∠AOB=
π |
2 |
∴
OB |
OC |
π |
6 |
(2)∵
AC |
BC |
又∵
AC |
BC |
∴cosα+sinα=
1 |
2 |
∴2cosαsinα=-
3 |
4 |
又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=
7 |
4 |
得cosα-sinα=-
| ||
2 |
∴cosα=
1-
| ||
2 |
1-
| ||
4 |
点评:本题是一个三角函数同向量结合的问题,是以向量垂直的充要条件为条件,得到三角函数的关系式,是一道综合题,在高考时可以以选择和填空形式出现,也可以以解答题形式出现.

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