题目内容
已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）且0＜α＜π（1）若|
| OA |
| OC |
| 7 |
| OB |
| OC |
（2）若
| AC |
| BC |
分析：（1）根据所给的点的坐标写出要用的向量的坐标，因为向量的模长是已知数值，代入坐标进行运算，得到关于角的关系式，结合同角的三角函数的关系，得到角α的值，从而得到向量夹角的值．
（2）根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件，写出角的三角函数式之间的关系，通过三角变换得到要求的角的余弦值，本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理．
（2）根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件，写出角的三角函数式之间的关系，通过三角变换得到要求的角的余弦值，本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理．
解答：解：（1）∵|
+
|=
∴（2+cosα）2+sin2α=7
∴cosα=
，又α∈(0，π)
∴α=∠AOC=
又∵∠AOB=
∴
与
的夹角为
（2）∵
=(cosα-2，sinα)
=(cosα，sinα-2)
又∵
⊥
∴cosα+sinα=
∴2cosαsinα=-
又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=
及cosα-sinα＜0
得cosα-sinα=-
∴cosα=
÷2=
| OA |
| OC |
| 7 |
∴（2+cosα）2+sin2α=7
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
∴α=∠AOC=
| π |
| 3 |
又∵∠AOB=
| π |
| 2 |
∴
| OB |
| OC |
| π |
| 6 |
（2）∵
| AC |
| BC |
又∵
| AC |
| BC |
∴cosα+sinα=
| 1 |
| 2 |
∴2cosαsinα=-
| 3 |
| 4 |
又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=
| 7 |
| 4 |
得cosα-sinα=-
| ||
| 2 |
∴cosα=
1-
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 4 |
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量垂直的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现，也可以以解答题形式出现．
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