题目内容

已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)且0<α<π
(1)若|
OA
+
OC
|=
7
,求
OB
OC
的夹角;
(2)若
AC
BC
,求cosα的值.
分析:(1)根据所给的点的坐标写出要用的向量的坐标,因为向量的模长是已知数值,代入坐标进行运算,得到关于角的关系式,结合同角的三角函数的关系,得到角α的值,从而得到向量夹角的值.
(2)根据所给的向量的坐标和向量垂直的条件,写出角的三角函数式之间的关系,通过三角变换得到要求的角的余弦值,本题主要解题思想是把两角之和和两角之积作为整体来处理.
解答:解:(1)∵|
OA
+
OC
|=
7

∴(2+cosα)2+sin2α=7
cosα=
1
2
,又α∈(0,π)

α=∠AOC=
π
3

又∵∠AOB=
π
2

OB
OC
的夹角为
π
6

(2)∵
AC
=(cosα-2,sinα)
BC
=(cosα,sinα-2)

又∵
AC
BC

cosα+sinα=
1
2

2cosαsinα=-
3
4

又由(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=
7
4
及cosα-sinα<0
得cosα-sinα=-
7
2

cosα=
1-
7
2
÷2=
1-
7
4
点评:本题是一个三角函数同向量结合的问题,是以向量垂直的充要条件为条件,得到三角函数的关系式,是一道综合题,在高考时可以以选择和填空形式出现,也可以以解答题形式出现.
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