Question

【题目】仙游某家具城生产某种家具每件成本为3万元，每件售价为x万元（x＞3），月销量为t件，经验表明，t= +10（x﹣6）2 ， 其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5万元时，月销量为11件．
（1）求a的值；
（2）求售价定为多少时，该家具的月利润最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：因为x=5时，y=11，所以 +10=11，a=2．
（2）解：由（1）可知，该商品每日的销售量y= +10（x﹣6）2．

所以该家具的月利润为：

f（x）=（x﹣3）[ +10（x﹣6）2]=2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．

从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣4）（x﹣6）．

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．

答：当销售价格为4万元时，该家具的月利润最大，最大值等于42万元

【解析】（1）将x，y的值代入方程，求出a的值即可；（2）求出函数表达式，根据函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，从而求出函数的最大值，得到答案即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．