Question

【题目】已知点，圆：，过点的动直线与圆相交于、两点，线段的中点为，且在圆上．

（1）若直线（）经过点，求的最大值；

（2）求圆的方程；

（3）若过点的直线与圆相交于，两点，线段的中点为．与：的交点为，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由，利用基本不等式，求得，即可求得的最大值；（2）由圆的圆心为，半径为，设设，得出，，利用由题设知，即可求解圆的方程；（3）设直线的方程为（），直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系，得出点的坐标，同理得出的坐标，即可求解为定值．

试题解析：（1）∵，∴，即，∴．

（2）圆的圆心为，半径为5，

设，则，，

由题设知，∴，即，

∴的方程是．

（3）设直线的方程为（）．

由得，

又直线与垂直，

由得，

∴

（定值）．