Question

20．三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PB=PC=3．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）设AB=BC=2$\sqrt{3}$，求直线AC与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，连结PO、BO，由已知推导出PO⊥底面ABC，由此能证明AB⊥BC．
（Ⅱ）取BC的中点为M，连结OM，PM，由已知推导出平面POM⊥平面PBC，取PM的中点N，连结ON，NC，则∠ONC即为AC与平面PBC所成的角，由此能求出AC与平面PBC所成的角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结PO、BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥底面ABC，
又PA=PB=PC，∴AO=BO=CO，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB⊥BC．
解：（Ⅱ）取BC的中点为M，连结OM，PM，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，AO=$\frac{1}{2}\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，
由三垂线定理得PM⊥BC 
∴平面POM⊥平面PBC，
又∵PO=OM=$\sqrt{3}$，
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON，NC，
则ON⊥PM，
又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，
∴ON⊥平面PBC，
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角，
$ON=\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}\sqrt{3+3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，OC=$\sqrt{6}$，
∴sin$∠ONC=\frac{ON}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ONC=\frac{π}{6}$．
故AC与平面PBC所成的角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查两直线垂直的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．