题目内容
函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
①已知f（x）是单调减函数，求不等式f（1-a）+f（1-a2）＜0的解；
②已知f（x）在区间[0，1）上是减函数，证明：f（x）是单调减函数．
①已知f（x）是单调减函数，求不等式f（1-a）+f（1-a2）＜0的解；
②已知f（x）在区间[0，1）上是减函数，证明：f（x）是单调减函数．
分析：①先利用奇偶性化简成f（1-a）＜f（a2-1），再利用单调性建立不等关系，根据定义域的范围建立两个不等关系，解不等式组即可．
②设-1＜x1＜x2＜1，只需证明f（x1）＞f（x2）．将x1，x2的取值分类求证．
②设-1＜x1＜x2＜1，只需证明f（x1）＞f（x2）．将x1，x2的取值分类求证．
解答：解：①f（1-a）＜-f（1-a2）
∴f（1-a）＜f（-1+a2）
∴1＞1-a＞-1+a2＞-1即0＜a＜1
②设-1＜x1＜x2＜1，只需证明f（x1）＞f（x2）
i当0≤x1＜x2＜0时，显然有f（x1）＞f（x2）成立；
ii当-1＜x1＜x2≤0时，有1＞-x1＞-x2≥0
∴f（-x1）＜?（-x2）∴-f（x1）＜-f（x2）
即：f（x1）＞f（x2）成立；
iii当-1＜x1＜0＜x2＜1时，有f（x1）＞f（0）且?（0）＞f（x2）
即：f（x1）＞f（x2）成立；
综上，当-1＜x1＜x2＜1时，总有：f（0）＞f（x2）
即：f（x）是单调减函数．
∴f（1-a）＜f（-1+a2）
∴1＞1-a＞-1+a2＞-1即0＜a＜1
②设-1＜x1＜x2＜1，只需证明f（x1）＞f（x2）
i当0≤x1＜x2＜0时，显然有f（x1）＞f（x2）成立；
ii当-1＜x1＜x2≤0时，有1＞-x1＞-x2≥0
∴f（-x1）＜?（-x2）∴-f（x1）＜-f（x2）
即：f（x1）＞f（x2）成立；
iii当-1＜x1＜0＜x2＜1时，有f（x1）＞f（0）且?（0）＞f（x2）
即：f（x1）＞f（x2）成立；
综上，当-1＜x1＜x2＜1时，总有：f（0）＞f（x2）
即：f（x）是单调减函数．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用，这两个性质是函数的重要性质．利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式．应先将抽象不等式转化为具体不等式．
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