题目内容
13．（1）已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a72+2a12=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，Tn表示数列{bn}的前n项积，求T13．（2）不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
分析 （1）设各项不为0的等差数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由等差数列的通项和等比数列的性质，可得所求值；
（2）对二次项系数讨论，m2-2m-3=0，和m2-2m-3＜0，且判别式△＜0，解不等式即可得到所求范围．
解答 解：（1）设各项不为0的等差数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由2a2-a72+2a12=0，可得2（a1+d）-（a1+6d）2+2（a1+11d）=0，
化简可得a1+6d=4，即a7=4．
即有b7=4，
又T13=b1•b2•b3…b13=b13•b12•b11…b1，
即有T132=（b1b13）•（b2b12）•（b3b11）…（b13b1）
=b72•b72•b72…b72=1613，
解得T13=413；
（2）由题意可得，m2-2m-3=0，解得m=3或-1，
当m=3时，不等式即为-1＜0，恒成立；
当m=-1时，不等式即为4x-1＜0不恒成立；
当m2-2m-3＜0，且判别式△＜0，即有（m-3）2+4（m2-2m-3）＜0，
解得-1＜m＜3且-$\frac{1}{5}$＜m＜3，
解得-$\frac{1}{5}$＜m＜3．
即有m的范围是（-$\frac{1}{5}$，3]．
点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，同时考查二次不等式恒成立，注意讨论二次项系数的符号和判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
相关题目