Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧棱底面， ， 为的中点， ，四棱锥的体积为.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成的正弦值为；（3）二面角的正弦值为.

【解析】试题分析：（1）连接，设与相交于点，连接，设法证明，即可证明平面；
（2）作，垂足为，则平面，设，在中， ，利用四棱锥 的体积，可求得，可证 平面，即平面.则以点为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴和轴，建立空间直角坐标系.求出平面的一个法向量为，又，从而可求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值；
（3）由（2）可求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则可求求二面角的正弦值

试题解析：（1）证明：连接，设与相交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，∴点为的中点.

∵为的中点，∴为的中位线，

∴

∵平面， 平面，

∴平面

（2）解：依题意知， ，

∵平面， 平面，

∴平面平面，且平面平面.

作，垂足为，则平面，

设，在中， ，

∴四棱锥体积，即.

∵， ， ， 平面， 平面，

∴平面，即平面.以点为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴和轴，建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， .

∴， .

设平面的法向量为，

由及，得

令，得， .故平面的一个法向量为，

又

.

∴直线与平面所成的正弦值为.

（Ⅲ）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为

∴

∴二面角的正弦值为.