题目内容
5．已知M（a，2）是抛物线y2=2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为（ ）| A． | -$\frac{1}{4}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 将M代入抛物线求出a，利用直线MP，MQ的倾斜角的和为π，则其斜率互为相反数，设出MP的方程，将方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出P的纵坐标与k的关系；同理得到Q的纵坐标与k的关系；利用两点连线的斜率公式求出PQ的斜率．
解答 解：将（a，2）代入抛物线方程得a=2，即M（2，2）．
设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为-k，
设p（x1，y1），Q（x2，y2）
直线MP的方程为y-2=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消x得，ky2-2y+4-4k=0，
由韦达定理得y1+2=$\frac{2}{k}$，
同理y2+2=-$\frac{2}{k}$，
∴y1+y2=-4，
∴PQ的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}}$
=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{-4}$=-$\frac{1}{2}$．
故选B．
点评 本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立，通过韦达定理得到交点的坐标的关系、考查两点连线的斜率公式．
练习册系列答案
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16．以抛物线y=4x2的焦点为圆心，与其准线相切的圆方程是（ ）
| A． | x2+（y-1）2=4 | B． | （x-1）2+y2=4 | C． | ${x^2}+{（{y-\frac{1}{16}}）^2}=\frac{1}{64}$ | D． | ${（{x-\frac{1}{16}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{64}$ |
13．抛物线x2=4y的准线方程是（ ）
| A． | y=-1 | B． | y=-2 | C． | x=-1 | D． | x=-2 |
20．若抛物线y=ax2的准线的方程是y=-2，则实数a的值是（ ）
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17．定义在实数集R上的凼数f（x）图象连续不断，且f（x）满足xf′（x）＜0，则必有（ ）
| A． | f（-2）+f（1）＞f（0） | B． | f（-1）+f（1）＞2f（0） | C． | f（-2）+f（1）＜f（0） | D． | f（-1）+f（1）＜2f（0） |
14．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{0≤y≤4}\end{array}\right.$表示的点集记为A，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y≥{x}^{2}}\end{array}\right.$表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（ ）
| A． | $\frac{9}{32}$ | B． | $\frac{7}{32}$ | C． | $\frac{9}{16}$ | D． | $\frac{7}{16}$ |