题目内容
【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,且侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2,E是侧棱PC上的动点
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)证明:BD⊥AE。
(3)求二面角P-BD-C的正切值。
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)四棱锥P-ABCD的体积V=S正方形ABCDPC,由此能求出结果.(2)连结AC,由已知条件条件出BD⊥AC,BD⊥PC,从而得到BD⊥平面PAC,不论点E在何位置,都有AE平面PAC,由此能证明BD⊥AE.
(3)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角P-BD-C的正切值
试题解析:(1)该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
∴ …………4分
(2)连结AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面
∴BD⊥PC …………6分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC
∴BD⊥AE …………8分
(3)设相交于
,连
,由四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PC⊥底面ABCD知,
是二面角P-BD-C的的一个平面角, …………10分
,即二面角P-BD-C的正切值为
.…………12分
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