Question

【题目】已知动圆恒过点，且与直线相切.

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；

（2）由抛物线方程求得点的坐标，设出直线的方程，利用导数求得点的坐标，联立直线的方程和抛物线方程，结合韦达定理，求得，进而求得与之间的大小关系，即可求得参数.

（1）由题意得，点与点的距离始终等于点到直线的距离，

由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

则，.∴圆心的轨迹方程为.

（2）因为是轨迹上横坐标为2的点，

由（1）不妨取，所以直线的斜率为1.

因为，所以设直线的方程为，.

由，得，则在点处的切线斜率为2，

所以在点处的切线方程为.

由得所以，

所以.

由消去得，

由，得且.

设，，

则，.

因为点，，在直线上，

所以，，

所以

，

所以.

∴

故存在，使得.