题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
，
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切，点
在椭圆上，
，
，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
：
与椭圆交于
，
两点，点
，若
，求斜率
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据直线与圆相切，即可求得
；在
中，由余弦定理，结合
，即可求得
，故椭圆方程可解；
（2）联立直线方程和椭圆方程，根据
求得
不等关系式；由
，可得
中点与
构成的直线与垂直，据此求得的等量关系，结合两者的不等关系，即可求得
的取值范围.
（1）依题意有
，∴
由
及椭圆的定义得
.
由余弦定理得
即
，
又
，解得
，
.
故椭圆的方程为.
（2）联立可得
，
，则
，
即
，①
又
，
设
的中点
，
则
，
∵
，∴
，
，
解得
代入①可得
，
整理可得
，
所求斜率的取值范围为.
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【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 |
|
|
|
|
| 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在
且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用
表示这3人中年龄在
的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
