Question

设函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂有f(x1)+f(x2)=2f(

x1+x2

2

)•f(

x1-x2

2

)，且f(

π

2

)=0，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数，且f（π-x）+f（x）=0；
（3）若-

π

2

＜x＜

π

2

时，f（x）＞0，求证：f（x）在（0，π）上单调递减．

Answer 1

分析：（1）根据题设通过合理赋值就可以求出f（0）的值；
（2）用赋值法可以得到f（x）与f（-x）的关系，以及f(

π

2

)=0，再进一步令x₁=x，x₂=π-x即可得f（π-x）+f（x）=0；
（3）用单调性的定义证明，要注意变量的范围．

解答：解：（1）令x₁=x₂=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函数；
令x₁=π，x₂=0，可得f(π)+f(0)=2f(

π

2

)f(

π

2

)
又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0
∴得f(

π

2

)=0
令x1=x， x2=π-x，可得f(x)+f(π-x)=2f(

π

2

)f(

2x-π

2

)=0
∴f（π-x）+f（x）=0．
（3）任取x₁，x₂∈（0，π），且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(π-x2)=2f(

x1-x2+π

2

)•f(

x1+x2-π

2

)
∵x₁，x₂∈（0，π）∴0＜

x1-x2+π

2

＜

π

2

，-

π

2

＜

x1+x2-π

2

＜

π

2

由题意知-

π

2

＜x＜

π

2

时，f（x）＞0，
∴f(

x1-x2+π

2

)＞0且f(

x 1+ x2-π

2

)＞0
故f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，π）上单调递减．

点评：本题是以余弦函数为背景的抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力．