Question

【题目】如图，在平行六面体中，底面是菱形，四边形是矩形．

(1)求证: ；

(2)若点在棱上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于点，由菱形的性质得出，由矩形的性质得出，结合，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；

（2）先证明平面，再由得知、、两两相互垂直，建立以点为原点，、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值．

（1）连接交于点，

因为底面是菱形，所以，，且为的中点，

因为四边形是矩形，所以，，

在平行六面体中，，所以，，

因为、平面，，

所以，平面，

平面，；

（2），且为的中点，所以，，

平面，所以，平面平面，

因为平面平面，平面，

，，所以，、、两两相互垂直，

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，

又因为，，，所以，，，

所以、、、、，

所以，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则有，即，

取，则，，

易得平面的一个法向量为，

所以，，所以，二面角的余弦值为．