题目内容

(2013•大连一模)已知m∈R,函数f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求m的取值范围.
分析:(Ⅰ)把m=2代入可得函数解析式,求导数可得单调区间,进而可得最值,可证f'(x)<0,可得单调区间;(Ⅱ)可得a,b是方程f'(x)=2mx-2ex=0的两不等实根,令h(x)=
ex
x
,求导数可得单调性,进而可得只需m>h(1)即可,进而可得m的范围.
解答:解:(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x2-2ex,f'(x)=4x-2ex=2(2x-ex).
令g(x)=2x-ex,g'(x)=2-ex,(2分)
当x∈(-∞,ln2)时,g'(x)>0,x∈(ln2,+∞)时,g'(x)<0
∴g(x)≤g(ln2)=2ln2-2<0.
∴f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数.(4分)
(Ⅱ)①若f(x)有两个极值点a,b(a<b),
则a,b是方程f'(x)=2mx-2ex=0的两不等实根.
∵x=0显然不是方程的根,∴m=
ex
x
有两不等实根.(6分)
h(x)=
ex
x
,则h′(x)=
ex(x-1)
x2

当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(-∞,0),
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
要使m=
ex
x
有两不等实根,应满足m>h(1)=e,
∴m的取值范围是(e,+∞)…(12分)
点评:本题考查利用导数研究函数的极值,涉及函数的单调性,属中档题.
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