$\underset{lim}{x→∞}$(1-$\frac{1}{{x}^{2}}$)${\;}^{3{x}^{2}}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）${\;}^{3{x}^{2}}$．

分析令x²=t，则$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）${\;}^{3{x}^{2}}$=$\underset{lim}{t→+∞}$$（1-\frac{1}{t}）^{3t}$=${e}^{\underset{lim}{t→+∞}ln（1-\frac{1}{t}）^{3t}}$，从而求$\underset{lim}{t→+∞}$ln$（1-\frac{1}{t}）^{3t}$即可．

解答解：令x²=t，则
$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）${\;}^{3{x}^{2}}$
=$\underset{lim}{t→+∞}$$（1-\frac{1}{t}）^{3t}$
=${e}^{\underset{lim}{t→+∞}ln（1-\frac{1}{t}）^{3t}}$，
∵$\underset{lim}{t→+∞}$ln$（1-\frac{1}{t}）^{3t}$=$\underset{lim}{t→+∞}$$\frac{ln（1-\frac{1}{t}）}{\frac{1}{3t}}$
=$\underset{lim}{t→+∞}$$\frac{\frac{1}{{t}^{2}}}{-\frac{1}{3}\frac{1}{{t}^{2}}}$=-3，
故$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）${\;}^{3{x}^{2}}$=$\underset{lim}{t→+∞}$$（1-\frac{1}{t}）^{3t}$=e^-3．

点评本题考查了函数的极限的求法及应用．

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