题目内容

已知四棱锥P-ABCD中,点M是PC的中点,点E是AB上的一个动点,且该四棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是直角三角形.
(I)求证:PA∥平面BDM;
(II)若点E是AB的中点,求证:CE⊥平面PDE;
(III)无论点E在何位置,是否均有三棱锥C-PDE的体积为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
分析:(I)连接AC,交BD于点O,连接OM,PE,由三视图可知,四边形ABCD为矩形,可证MO∥PA,根据线面平行的判定定理可证
(II)由三视图可知,PD⊥平面ABCD,AD=PD=1,AB=2,PD⊥CE,则△ADE与△BCE都是等腰直角三角形即∠AED+∠BEC=90°,则CE⊥DE,根据线面垂直的判定定理可证
III)VP-CDE=VC-PDE=
1
3
×PD×S△CDE
,即可
解答:证明:(I)连接AC,交BD于点O,连接OM,PE
由三视图可知,四边形ABCD为矩形
∴O是AC的中点
又∵M是PC的中点
在PAC中,则MO∥PA(2分)
由MO?平面BDM,PA?面BDM(3分)
∴PA∥面BDM(4分)
(II)由三视图可知,PD⊥平面ABCD,AD=PD=1,AB=2
∵CE?面ABCD,
∴PD⊥CE(6分)
∵E为AB的中点
∴△ADE与△BCE都是等腰直角三角形
∴∠AED+∠BEC=90°
∴CE⊥DE(8分)
∵PD∩DE=D
∴CE⊥面PDE(9分)
III)VP-CDE=VC-PDE=
1
3
×PD×S△CDE

∵无论点E在任何位置,△CDE的面积均为定值
S△CDE=
1
2
•CD•AD
=
1
2
×2×1=1
(10分)
∴VC-PDE=
1
3
×1×1=
1
3
(12分)
点评:本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定定理的应用,注意线线关系与线面关系的相互转化,及利用换定点求解三棱锥的体积.
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