Question

13．函数f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（2×3×…×2015）${\;}^{\frac{1}{1008}}$＜2015．

Answer 1

分析 （I）求出函数定义域，f′（x），由f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，由此可得a值，然后代入验证；
（II）因为函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，所以xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，分离参数a后，转化为求函数最值即可；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$，所以$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，从而有lnx≤$\frac{x}{e}$＜x，即lnx＜x，据此不等式可得ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，对各式累加，再运用对数运算法则即可证明．

解答 解：（I）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x=1处取得极值．
所以a=0．
（II）由题意，得xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以a＞$\frac{lnx}{x}$，
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上为减函数；
所以h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$，
所以a＞$\frac{1}{e}$；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$，所以$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，所以lnx≤$\frac{x}{e}$＜x，即lnx＜x，
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2015＜2015，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2015＜1+2+3+…+2015，
所以ln（1×2×3×…×2015）＜$\frac{2015（1+2015）}{2}$=2015×1008，即$\frac{1}{1008}$•ln（1×2×3×…×2015）＜2015，
所以ln（2×3×…×2015）$\frac{1}{1008}$＜2015．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查函数恒成立问题，函数恒成立往往转化为求函数最值解决，而不等式的证明常借助前面结论，如最值等．