Question

如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=

2

，DF=1，P是线段EF上的动点．
（Ⅰ）若点O为正方形ABCD的中心，求直线OP与平面ABCD所成角的最大值；
（Ⅱ）当点P为EF的中点时，求直线BP与FA所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当P是线段EF的中点时，OP⊥平面ABCD，直线OP与平面ABCD所成的角最大，当P是线段EF的端点时，OP与平面ABCD所成的角最小．
（Ⅱ）FO∥PB，∠AFO是直线BP与FA所成的角，解直角三角形AFO，求出此角的正弦值．
（Ⅲ）取EF的中点P，∠APC是二面角A-EF-C的平面角，通过计算三角形APC的边长求出∠APC的大小．

解答：解：（Ⅰ）连接OP．设OP与平面ABCD所成角为α，则α∈[

π

4

，

π

2

]．
当P是线段EF的中点时，OP⊥平面ABCD，直线OP与平面ABCD所成的最大角是

π

2

．（4分）
（Ⅱ）连接AF、FC、OF．
易证FO∥PB，
∴∠AFO是直线BP与FA所成的角．（5分）
依题意，在等腰△AFC中，FO⊥AC，△AFO为直角三角形．
∵AD=

2

，DF=1，
∴AF=

3

．又AO=

1

2

( 2 )2+( 2 )2

=1，
∴在Rt△AOF中，sin∠AFO=

AO

AF

=

3

3

．（8分）
（Ⅲ）连接AE、EC，则AF=FC=AE=EC=

3

．取EF的中点P，连接AP、CP，AP⊥EF，CP⊥EF，
则∠APC是二面角A-EF-C的平面角．（11分）
则等腰△AEF≌△CEF，
∴在△APC中，AP=CP=

2

．
又AC=2，
∴△APC是直角三角形．
且∠APC=

π

2

．
∴二面角A-EF-C的大小是

π

2

（14分）

点评：本题考查线线角、线面角、二面角的求法．