Question

已知二次函数f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，
（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，求实数a的取值范围；
（2）若对区间[-1，1]内的一切实数m都有f（m）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的对称轴分别表示出f（1），f（-1）和f（a-1），进而根据在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，推断函数f（x）的最大值大于0，进而根据a＜1时和a≥1时的函数的最大值，求得a的范围；
（2）依题意可知[f（x）]_min＞0，进而看0≤a≤2和a＞2时根据二次函数的单调性求得f（x）的最小值，进而求得a的范围．

解答：解：∵f（x）的对称轴x₀=a-1，而f（1）=-a²-2a+15，
f（-1）=-a²+6a+7，f（a-1）=-3a²+6a+7；
（1）命题?[f（x）]_max＞0，（x∈[-1，1]），
①当x₀＜0，即a＜1时，[f（x）]_max
=f（1）＞0?a²+2a-15＜0?-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②当x₀≥0，即a≥1时，[f（x）]_max
=f（-1）＞0?a²-6a-7＜0?-1＜a＜7，得1≤a＜7；
综上，a的取值范围是（-5，7）；
（2）命题?[f（x）]_min＞0（x∈[-1，1]），
①当x₀＜-1，即a＜0时，[f（x）]_min
=f（-1）＞0?-1＜a＜7，得-1＜a＜0；
②当-1≤x₀≤1，即0≤a≤2时，[f（x）]_min
=f（a-1）＞0?3a2-6a-7＜0?

3- 30

3

＜a＜

3+ 30

3

，
得0≤a≤2；
③当x₀＞1，即a＞2时，[f（x）]_min=f（1）＞0?-5＜a＜3，
得2＜a＜3；
综上，a的取值范围是（-1，3）．

点评：本题主要考查了函数与方程得综合运用．考查了利用函数的单调性解决方程问题．