Question

【题目】设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有 ． （请将你认为正确命题的序号都写上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，

令i=j，则0为数列的某一项，

即a4=0，

则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．

必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，

而a1﹣a2=a2或a3，

若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；

若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，

可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；

据此分析选项：易得①②③正确；

所以答案是：①②③

【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．