Question

【题目】已知函数f（x）.

（1）求函数y=f（x）的单调区间；

（2）若曲线y=f（x）与直线y＝b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；

（3）过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）1<b；（3）1，理由见解析.

【解析】

（1）利用的导函数，求得的单调区间.

（2）由（1）判断出的极大值和极小值，结合与有个交点，求得的取值范围.

（3）设出切点坐标，利用导数求得切线方程，代入点，得到切点的横坐标满足的方程，利用导数证得这个方程只有一个解，由此判断出可以作条切线.

（1）f′（x）=（x﹣x2）e﹣x，

由f′（x）>0，可得0<x<1，f′（x）<0，可得x<0或x>1，

∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；

（2）由（1），f（0）=1，f（1），

∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，

∴1<b；

（3）设切点为（m，n），则f′（m）=（m﹣m2）e﹣m，

∴切线方程为y﹣n=（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），

代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1=0，

设g（m）=m3+m2+1，g′（m）=3m2+2m，

由g′（m）>0，可得m或m>0，g′（m）<0，可得m<0，

∴函数g（m）的单调递减区间是（，0），单调递增区间是（﹣∞，），（0，+∞）；

∵g（）>0，g（0）>0，

∴g（m）=0有唯一解，

∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切.