Question

【题目】定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b
③若a＞0，b＞0，则 b
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2
其中的真命题有： ． （写出所有真命题的编号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜ab＜1，从而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，

∴ln+（ab）=bln+a；

当a≥1，b＞0时，有ab＞1，从而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，

∴ln+（ab）=bln+a；

∴当a＞0，b＞0时，ln+（ab）=bln+a，命题①正确；

对于②，当a= 时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+ =0，ln+a+ln+b=ln+ +ln+2=ln2，

∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；

对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．

当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+ ≥0，

∴ b．

当a≥1，0＜b＜1时，有 ，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+ =ln =lna﹣lnb，

∵lnb＜0，

∴ b．

当0＜a＜1，b≥1时，有0＜ ，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+ =0，

∴ b．

当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln ，则 b．

∴当a＞0，b＞0时， b，命题③正确；

对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有 ，

当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，

ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，

ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），

∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，

∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

命题④正确．

∴正确的命题是①③④．

所以答案是：①③④．

【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．