题目内容
(1)利用定义证明:函数f(x)=x3-3x在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;
(2)设x0是方程x3-3x=100的正实数解,利用(1)的结论,求证:4<x0<5.
(2)设x0是方程x3-3x=100的正实数解,利用(1)的结论,求证:4<x0<5.
(1)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2
∴f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)
∵0≤x1<x2,即x1-x2<0
当x1,x2∈[0,1]时,x12+x1x2+x22-3<0,有f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2);
当x1,x2∈[1,+∞)时,x12+x1x2+x22-3>0,有f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
由单调性定义得:f(x)=x3-3x在[0,1]上单调减,在[1,+∞)上单调增;
(2)由于f(x)=x3-3x=x(x2-3),当0≤x≤
时,f(x)≤0<100,
∴方程x3-3x=100的正实数解x0>
又∵f(x)=x3-3x在[1,+∞)上的增函数,且f(x0)=100,f(4)=52,f(5)=110,
∴f(4)<f(x0)<f(5),即4<x0<5.
∴f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)
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∵0≤x1<x2,即x1-x2<0
当x1,x2∈[0,1]时,x12+x1x2+x22-3<0,有f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2);
当x1,x2∈[1,+∞)时,x12+x1x2+x22-3>0,有f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
由单调性定义得:f(x)=x3-3x在[0,1]上单调减,在[1,+∞)上单调增;
(2)由于f(x)=x3-3x=x(x2-3),当0≤x≤
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∴方程x3-3x=100的正实数解x0>
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又∵f(x)=x3-3x在[1,+∞)上的增函数,且f(x0)=100,f(4)=52,f(5)=110,
∴f(4)<f(x0)<f(5),即4<x0<5.
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