Question

13．求函数f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x-3}$，x∈（-1，1）∪（1，3）的值域．

Answer 1

分析 求导数，能够判断f′（x）＜0，从而f（x）在（-1，1）和（1，3）上单调递减，f（x）在x=1处没有定义，从而可考虑当x分别从左边和右边趋向1时，f（x）的取值情况，这样便得到f（x）＜f（-1），或f（x）＞f（3），这样便可得出原函数的值域．

解答 解：$f′（x）=\frac{-（x+1）^{2}-4}{（{x}^{2}+2x-3）^{2}}＜0$；
∴f（x）在（-1，1），（1，3）单调递减；
x从左边趋向1时，f（x）趋向负无穷大，而x从右边趋向1时，f（x）趋向正无穷大；
∴f（x）＜f（-1），或f（x）＞f（3）；
即f（x）＜0，或f（x）＞$\frac{1}{3}$；
∴原函数的值域为：（-∞，0）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数的单调性求函数值域，注意本题要考虑当x趋向1时的f（x）的取值，并注意正确求导．