题目内容
4.已知a,b∈R+,且满足a+b=2,S=a2+b2+2$\sqrt{ab}$的最大值是$\frac{9}{2}$.分析 根据a+b=2可得到S=$-2(\sqrt{ab}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{2}$,而根据基本不等式可得到$0≤\sqrt{ab}≤1$,从而$\sqrt{ab}$可取$\frac{1}{2}$,这样便可得出S的最大值.
解答 解:S=$(a+b)^{2}-2ab+2\sqrt{ab}$=$4-2ab+2\sqrt{ab}=-2(\sqrt{ab}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{2}$;
∵a,b∈R+;
∴$2=a+b≥2\sqrt{ab}$;
$0≤\sqrt{ab}≤1$;
∴$\sqrt{ab}=\frac{1}{2}$时,S取最大值$\frac{9}{2}$.
故答案为:$\frac{9}{2}$.
点评 考查完全平方公式及基本不等式的运用,配方法的运用,注意基本不等式应用的条件并判断“=”是否取到.
练习册系列答案
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A. | 充分而不必要的条件 | B. | 必要而不充分的条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |