题目内容
已知二次函数f （x）=x2+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| c |
| d |
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （
| a |
| b |
| c |
| d |
分析：（Ⅰ）由条件f （-x）=f （2+x）可知f（x）的图象关于直线x=1对称，又由于函数图象开口向上，故可求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）利用函数的单调性将函数符号脱去，从而转化为解三角不等式．
（Ⅱ）利用函数的单调性将函数符号脱去，从而转化为解三角不等式．
解答：解：（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y1）、B（2+x，y2），
因为
=1
f （-x）=f （2+x），所以y1=y2
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵
•
=（sinx，2）•（2sinx，
）=2sin2x+1≥1，
•
=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （
•
）＞f （
•
）?f（2sin2x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin2x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+
＜2x＜2kπ+
，k∈z
?kπ+
＜x＜kπ+
，k∈z
∵0≤x≤π，∴
＜x＜
综上所述，不等式f （
•
）＞f （
•
）的解集是：{ x|
＜x＜
}．
因为
| (-x)+(2+x) |
| 2 |
f （-x）=f （2+x），所以y1=y2
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| c |
| d |
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （
| a |
| b |
| c |
| d |
?2sin2x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
?kπ+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∵0≤x≤π，∴
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
综上所述，不等式f （
| a |
| b |
| c |
| d |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题主要考查函数的对称性，利用函数的单调性，求解三角不等式，有一定的综合性．
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