题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ sinxcosx+cos²x+a
（I）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）当x∈ $数学公式$ 时，函数f（x）的最大值与最小值的和为 $数学公式$ ，解不等式f（x）＞1．

解：f（x）= $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x+a
= $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a+ $\text{[math]}$
（I）所以T= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）的单调递减区间是[ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（II）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
当x $\text{[math]}$ 时，f（x）_max+f（x）_min=（1+a+ $\text{[math]}$ ）+（- $\text{[math]}$ +a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
由f（x）＞1得， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ．
分析：由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性质易于解决；
（II）当x∈ $\text{[math]}$ 时，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后结合正弦函数的图象解得答案．
点评：本题考查倍角公式、和角公式及函数y=Asin（ωx+φ）+B的性质，同时考查转化思想．