题目内容
【题目】已知四棱锥的底面为正方形,且该四棱锥的每条棱长均为
,设BC,CD的中点分别为E,F,点G在线段PA上,如图.
(1)证明:;
(2)当平面PEF时,求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)设,由正棱锥的性质可知PO⊥平面ABCD,得到PO⊥EF,再由ABCD是正方形结合EF为△BCD的中位线,可得EF⊥AC,得到EF⊥平面PAC,进一步得到EF⊥GC;
(2)分别以PB,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出A,P,E,F的坐标,设,且
,其中
,求得
,设平面PEF的一个法向量为
,求得
,结合BG∥平面PEF,利用数量积为0求得λ,进一步得到
,又
,求出直线GC的法向量为
.设GC和平面PEF所成角为
,再由
求解.
(1)证明:由已知为正四棱锥,设AC,BD交于点O,
由正棱锥的性质可知平面ABCD,所以
,
由于正方形ABCD满足,EF为
的中位线,故
,所以
,
所以平面PAC,而
平面PAC,所以
.
(2)分别以OB,OC,OP为坐标轴建立如图坐标系,
此时,
,
,
.
设,且
,其中
,
即,
设平面PEF的法向量为,
由于,
,
由解得
,
由平面PEF知
,
解得,此时
,由于
,故
.
所以直线GC的方向向量,
设GC和平面PEF所成角为,
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,∠PAD=90°,CD∥AB,∠BAD=90°,且AB=3CD=3PAAD=3.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求点A到平面PCD的距离.
【题目】某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为,整治后前四个月的污染度如下表:
月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:
,
,
,其中
表示月数,
、
、
分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过.