题目内容
已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为（x0，y0），记θ为
| PM |
| PN |
分析：（1）设出要求轨迹的点的坐标，根据所给的两个点的坐标写出要用的向量，做出向量的数量积，根据
•
，
•
，
•
成公差小于零的等差数列，列出不等式和等式，整理整式得到结果．
（2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角的余弦值，根据同角的三角函数的关系，用已知条件表示出tanθ．
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
（2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角的余弦值，根据同角的三角函数的关系，用已知条件表示出tanθ．
解答：解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得
=-
=（-1-x，-y），
=-
=（1-x，-y），
=-
=（2，0），
∴
•
=2(1+x)，
•
=x2+y2-1，
•
=2(1-x)，
∵
•
，
•
，
•
是公差小于零的等差数列
∴
即x2+y2=3（x＞0），
∴点P的轨迹是以原点为圆心，
为半径的右半圆．
（2）点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=3，
•
=x02+y02-1=2，
∵|
|•|
|=
•
=
=2
，
∴cosθ=
=
，
∵0＜x0≤
，
∴
＜cosθ≤1，0≤θ＜
，
sinθ=
=
，
tanθ=
=
=
=|y0|
| PM |
| MP |
| PN |
| NP |
| MN |
| NM |
∴
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
∵
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
∴
|
即x2+y2=3（x＞0），
∴点P的轨迹是以原点为圆心，
| 3 |
（2）点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=3，
| PM |
| PN |
∵|
| PM |
| PN |
(1+x0)2+
|
(1-x0)2+
|
=
| (4+2x0)(4-2x0) |
4-2
|
∴cosθ=
| ||||
|
|
| 1 | ||||
|
∵0＜x0≤
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
sinθ=
| 1-cos2θ |
1-
|
tanθ=
| sinθ |
| cosθ |
=
| ||||
|
| 3-x02 |
点评：这是一个综合题，求轨迹的问题，向量的数量积，等差数列的定义，求向量的夹角，同角的三角函数关系，这是一个难题，可以作为高考卷的压轴题．
练习册系列答案
相关题目
已知两点M（-1，0），N（1，0）若直线3x-4y+m=0上存在点P满足
•
=0，则实数m的取值范围是（ ）
| PM |
| PN |
| A、（-∞，-5]∪[5，+∞） |
| B、（-∞，-25]∪[25，+∞） |
| C、[-25，25] |
| D、[-5，5] |