题目内容
已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使
•
，
•
，
•
成等差数列．
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．
分析：（1）设出P的坐标为（x，y），再由M和N的坐标，表示出
，
，及
，根据
•
，
•
，
•
成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则化简后，即可得到曲线C的方程；
（2）设切线方程的斜率为k，根据A的坐标表示出切线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，由直线与圆相切，得到d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程，设M和N为对应切线的切点，根据垂径定理，由|OA|，|OM|，利用勾股定理求出|AM|的长，以A为圆心，|AM|长为半径写出圆A的标准方程，MN即为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求出公共弦MN所在的直线方程．
| MP |
| MN |
| NP |
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
（2）设切线方程的斜率为k，根据A的坐标表示出切线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，由直线与圆相切，得到d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程，设M和N为对应切线的切点，根据垂径定理，由|OA|，|OM|，利用勾股定理求出|AM|的长，以A为圆心，|AM|长为半径写出圆A的标准方程，MN即为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求出公共弦MN所在的直线方程．
解答：解：（1）设动点P（x，y），
则
=-
=(-1-x，-y)，
=-
=(1-x，-y)，
=-
=(2，0)
•
=2(1+x)，
•
=x2+y2-1，
•
=2(1-x)
于是由
•
+
•
=2
•
得：2（x2+y2-1）=2（1+x）+2（1-x），
化简得：x2+y2=3即为所求的轨迹方程；
（2）设切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由
=
⇒k=8±
，
所以切线方程为：y-4=(8±
)(x-2)，
设M、N为对应切线的切点，则0A2=OM2+AM2，所以|AM|=
，
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x-2）2+（y-4）2=17，
则MN即为两圆的公共弦，
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y-3=0．
则
| PM |
| MP |
| PN |
| NP |
| MN |
| NM |
| MP |
| MN |
| PM |
| PN |
| NM |
| NP |
于是由
| MP |
| MN |
| NM |
| NP |
| PM |
| PN |
化简得：x2+y2=3即为所求的轨迹方程；
（2）设切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由
| |4-2k| | ||
|
| 3 |
| 51 |
所以切线方程为：y-4=(8±
| 51 |
设M、N为对应切线的切点，则0A2=OM2+AM2，所以|AM|=
| 17 |
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x-2）2+（y-4）2=17，
则MN即为两圆的公共弦，
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y-3=0．
点评：此题考查了圆的切线方程，等差数列的性质，平面向量的数量积运算，点到直线的距离公式，轨迹方程，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，第二问求出圆A的方程，得出MN为圆A和圆C的公共弦，是求公共弦MN所在直线方程的关键．
练习册系列答案
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已知两点M（-1，0），N（1，0）若直线3x-4y+m=0上存在点P满足
•
=0，则实数m的取值范围是（ ）
| PM |
| PN |
| A、（-∞，-5]∪[5，+∞） |
| B、（-∞，-25]∪[25，+∞） |
| C、[-25，25] |
| D、[-5，5] |