Question

在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数．对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．
（1）求向量

A0A2

的坐标；
（2）当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量

A0An

的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用中点坐标公式求出点A₁，A₂的坐标，再利用向量的坐标公式求出

A0A2

的坐标．
（2）由已知判断出y=f（x）的图象是由C按

A0A2

平移得到的；得到C是由f（x）左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．
（3）利用向量的运算法则将

A0An

有以P_n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．

解答：解：（1）设点A₀（x，y），A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₁的坐标为（2-x，4-y），
A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为（2+x，4+y），
∴

A0A2

={2，4}．
（2）∵

A0A2

={2，4}，
∴f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．
因此，设曲线C是函数y=g（x）的图象，
其中g（x）是以3为周期的周期函数，
且当x∈（-2，1]时，g（x）=lg（x+2）-4．
于是，当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．
（3）

A0An

=

A0A2

+

A2A4

+…+

An-2An

，
由于

A2k-2A2k

=2

P2k-1P2k

，得

A0An

=2（

P1P2

+

P3P4

+…+

Pn-1Pn

）
=2（{1，2}+{1，2³}+…+{1，2^n-1}）=2{

n

2

，

2(2n-1)

3

}={n，

4(2n-1)

3

}

点评：本题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．