Question

在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数，对平面上任一点A，记A₁为A关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．
（1）求向量的坐标；
（2）当点A在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若两个点关于第三点对称，则第三点为这两个点的中点，所以先设出A的坐标，利用对称求出A₁坐标，A₂坐标，就可以得到向量的坐标．
（2）先根据函数y=f（x）的周期性和x∈（0，3]时，f（x）的解析式求出x∈（3，6]时，f（x）的解析式，再把（1）中求出A₂点坐标代入，化简，即得当x∈（1，4]时x，y满足的关系式，即为以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．
解答：解：（1）设A（x，y），∵A₁为A关于点P₁的对称点，
∴A₁坐标为（2-x，4-y）
∵A₂为A₁关于点P₂的对称点，∴A₂坐标为（2+x，4+y）
∴；
（2）∵f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx
∴当x∈（3，6]时，f（x）=lg（x-3）
∵A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，
∴当2+x∈（3，6]时，4+y=lg（2+x-3）=lg（x-1），
即x∈（1，4]时，4+y=lg（x-1），y=lg（x-1）-4，
∴A（x，y）点满足y=lg（x-1）-4．
∴当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．
点评：本题主要考查了中点坐标公式的应用，以及利用函数周期性求函数解析式的方法．